לא זאת השאלה. על גרף קורלציה והאלטרנטיבות

מכירים את זה שמראיין שואל פוליטיקאי שאלה קשה והפוליטיקאי עונה ״לא זאת השאלה״ וממשיך לדקלם מדף מסרים? בתור יועץ ללקוחות חיצוניים או פנימיים, אני מוצא את עצמי לא מעט בסיטואציה בה אני אומר ״לא זאת השאלה״. אבל לא כדי לדקלם את דף מסרים אלא כדי לעזור ללקוח להבין את הבעיה שלו. הנה דוגמה שמצאתי בארכיון שלי שתדגים היטב את הכוונה שלי.

יום אחד קיבלתי רשימה של עסקאות בחנות האינטרנט של חברת אוטומאטיק Automattic בה עבדתי במשך יותר מחמש שנים. החברה מפעילה את אתר wordpress.com במודל פרימיום ובאותם ימים החברה מכרה מספר רב של שירותים בתשלום. מאחר והצעת המכירה מתבצעת לפני שהלקוח נרשם לשירות, קשה להתאים את ההצעות ללקוח. במילים אחרות: אין פרסונליזציה. אני חשבתי לגשת לבעיה מזווית קצת אחרת והעליתי השארה שלקוחות שנכנסים לחנות באמצע שבוע יהיו שונים מהלקוחות של סוף השבוע כי אלה נכנסים בענייני עבודה ואלה נכנסים בענייני תחביבים. אם זה נכון, אפשר להתאים את החנות לשני סוגי האוכלוסיה ולשפר את הביצועים.

מיד נשאלה השאלה ״האם יש קורלציה בין פילוח המוצרים שנקנים בסוף השבוע לעומת אמצע השבוע. הקורלציה הזאת אכן התקיימה

לא רק שהיא התקיימה, היא הייתה כמעט מושלמת. אבל לא זאת השאלה. בורור שיש קורלציה. זהו הטבע של המוצרים האלה: כמות האנשים שרוצים שם דומיין שעולה בסביבות 10 דולר יותר גדולה מכמות האנשים שרוצים מנוי עסקי שעולה כמה מאות דולרים. גם באמצע השבוע וגם בסוף. השאלה היא מה ההבדל.

מה כן השאלה?מה הפתרון? עוד רגע נגלה, בוא נראה עוד דוגמא.

נניח שאתם צריכים להחליט אם בית חולים מסויים יכול להחליף מד שיא נשיפה (מכשיר המעריך את תפקוד הראיות) גדול בדגם קטן יותר. מה עושים? אפשר למדוד את את שיא הנשיפה בשני המכשירים ולבנות גרף קורלציה.

יש קורלציה. יופי? לא, לא יופי. אתם זוכרים את המושג השארת האפס? השארת האפס היא ההשארה הכי תמימה לגבי התצפיות אבל שלא מגיע לתחום הטמטום. גרף קורלציה עוזר לנו לבחון את השארת האפס שאין קשר בין שני מדדים. אבל זאל לא השארת אפס קבילה. ברור שיש כאן קשר בין המדדים. לא היינו צריכים לעשות את המדידות כדי לדעת שיש קשר! ככה בנו את המכשירים! גם בדוגמה של הקניות בחנות האינטרנט השארת האפס של ״לא קיים קשר״ לא השארה קבילה.

בעיה נוספת עם גרף הקורלציה היא שהוא מניח הנחה נסתרת כאילו המדד בציר ה־X הוא הגורם המשפיע או המדדת ה״אמיתי״ ואילו המדד בציר ה־Y המושפע, או ה״טוען לכתר״. כאן זה לגמרי לא נכון. בשתי הדוגמאות, אין מדד ״אמיתי״ ו־״לא אמיתי״ ואין מדד אחד ש־״משפיה״ ואחד ״מושפע״. אז מה יש לנו?

מה השאלה?

השאלה האמיתית היא מה מידת ההסכמה בין שני המספרים או מידת ההבדל בינהם. לכן נציג את ההבדל בין שני המדדים. אבל הבדל כפונקציה של מה? איזה מדד נצייר על ציר ה־X? האם הבדל המכירות הוא פונקציה של המכירות באמצע השבוע או בסוף השבוע? האם ההבדל במדידות שי הנשיפה הוא פונקציה של המדד הזה הנמדד במכשיר הגדול או במכשיר הקטן? אם נבחר מדד אחד נייחס לו חשיבות רבה יותר. אז הפתרון הוא פשרה מפאיניקית: נקח את הממוצע. זה בדיוק מה שהציעו רבותינו Altman ו־Bland במאמרם שהתפרסם בשנת 1986 "Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement". המאמר היה כל כך חשוב שהוא התפרסם שוב, כמעט בלי שינויים ב־1999 תחת השם "Measuring agreement in method comparison studies". הכותרת מבטאית את הרעיון: במקום לצייר קורלציה, אנחנו מציירים ומנתחים את מידת ההסכמה בין שני מדדים. על מנת לבצע את המשימה הזאת, אנחנו מציירים את ממוצע המדידות בציר ה־X ואת ההבדל בציר ה־Y.

הנה התוצאה של אלטמן ובלנד

תראו איזה עושר של נתונים יש לנו כאן: הנקודות, ההבדל, מדדי סיכום. אפשר גם להעריך האם קיימת מגמה כלשהיא בחוסר ההכמה. תענוג.

נעבור לדוגמה שלי. מאחר מידת הפופולריות של הרבה דברים ותופעות מתפלגת התפלגות אקספוננציאלית, עברתי לסקלה לוגריתמית. אחרי הטרנספורמציה הזאת הנה התוצאה של הנתונים שלי:

(יצרתי את הגרף הזה לפני שש שנים, הוא מלא בשגיאות כמו טקסט מסובב, רקעים, וכד׳. אל תשפטו אותי קשה.)

אפשר לראות יפה מאוד שבמקרה של החנות האינטרנטית יש מוצרים עם העדפה מסויימת לסופי שבוע ומוצרים עם העדפה מסויימת לאמצע השבוע. לא זו אף זו, אם מוסיפים תוויות למוצרים השונים אפשר לראות הגיון בריא שמחזק את הטענה שלנו: לקוחות אמצ״ש שונים מלקוחות סופ״ש

אז מה היה לנו כאן?

גרף קורלציה בודק השארה תמימה של העדר קשר. תמימה, לא מטומטמת. אם קיום הקשר ברור מאילו, אם שני המדדים אמורים למדוד את אותו הערך, אם מדד אחד לא משפיע על השני, אזי עדיף לאמוד את מידת ההסכמה בין המדדים, לא את מידת הקשר.

אני ממליץ מאוד לקרוא את המאמר השני של אלטמן ובלנד. המאמר זמין כאן